梅森數是指形如2^p-1的正整數,其中p代表的是素數,常記為Mp,若某個梅森數同時也是素數,則稱之為梅森素數。
之所以稱其為梅森數,是為了紀念17世紀的法國著名數學家梅森對形如2^p-1型素數做出過的研究。
而實際上,針對形如2^p-1這樣的數,研究的歷史可以追溯到2300多年前。
歐幾里得在證明了素數有無窮多個之後,便提出量素數可寫「2^p-1」的形式。
這顯然是一個很神奇的事,其中p指的是素數,然後讓其為2的指數,接著再減一個1,就有可能出現一個新的素數。
這看起來十分的巧合,卻也藏著獨屬於數字的魅力,所以關於對梅森素數的研究,在數學界也十分的出名。
而此時,在林曉看來,針對梅森素數的分佈規律,他似乎也可以用自己的這個方法來搞出來。
「試試吧。」
他心中這麼想了想,便開始起了手。
將那麼多本科書全部都吃了,他現在大腦中所儲備的數學知識那是相當多的。
關於梅森素數的知識,他也看了不,比如有一個新梅森猜想,這個猜想是關於三個給定條件中,只要有兩個立,那麼另外一個也立。
除此之外,還有一個做周氏猜測的猜想,這是華國數學家周海忠於1992年提出的,他於《梅森素數的分佈規律》一文中針對梅森素數的分佈規律做出了一次相對準的預測,其容是:當2^2^n
周氏猜測雖然並沒有幫助人們直接找到梅森素數,但是卻小了人們尋找梅森素數的範圍,以至於在國際上也到了相當大的好評,包括菲爾茲獎和沃爾夫獎雙料得主,完了素數定理初等證明的阿特勒·塞爾伯格教授,也認為周氏猜測有創新,開創了富於啟發的新方法,此外,其創新還表現在揭示新的規律上。
不過,證明周氏猜測的困難還是相當大的,至今沒有證明或反證,所以也仍然屬於一道世界的數學難題。
對於林曉來說,這些猜想什麼的,暫時對他沒有什麼用,但是對他的研究來說也有這樣一定的指導意義。
「要是這麼說的話,據我的方法,倒是有可能對周氏猜測做出證明?」
心中思考著這個問題,林曉拿出了筆,找來草稿紙開始計算了起來。
對於數學家們來說,用最原始的紙筆來解決數學問題,顯然是最方便的,而隨著自己的筆頭下出現一道道公式,也能夠給他們帶來一種心理的滿足。
畢竟,這樣一來他們就可以在心中說一句:「瞧,我正在進行這個世界上最聰明的工作呢。」
……
【3,7,31,127,257……】
林曉的首要工作,自然就是先將梅森數前面的幾項給列出來。
由於有著指數項,所以隨便列出幾項后,數字就已經相當大了,不過對於林曉來說,數字大點,並不影響他對這個數字的判斷。
現在隨便給他寫個一萬以的數字,他都能夠在兩秒之判斷出這個數字是不是質數,至於一萬以上十萬以,他也能夠在較短時間判斷出來。
這就是數。
在歷史上,很多天才都有這樣的事例,就比如歐拉,他在雙目失明后,直接靠心算算出了2^31-1這個梅森數為梅森素數,是當時已知的最大素數;再比如拉馬努金,這位更是重量級,他的數也是出名的厲害。
而有時候,這樣的數,對於解決問題也有著極大的幫助。
估計讓林曉去參加那什麼最強大腦,稍微展現一下,都能讓在場的人為之驚嘆。
寫了幾步后,林曉便發現其中存在了一些問題。
「因為我沒有素數確表達式,所以針對『p』,關係式無法直接遞推到無窮……難道我也要假設黎曼猜想立嗎?」
他抓了抓腦袋,有些無語。
黎曼猜想雖然是複變函數中的問題,看起來和素數分佈沒有任何關係,只不過黎曼zeta函數解析延拓后在複平面上的函數和包括π(x)的某個函數等價,π(x)也即素數計數函數。
所以假設黎曼猜想立后,就能夠直接找到素數分佈,那他就可以直接用了。
不過,所有假設黎曼猜想立的推論,或者是假設黎曼猜想不立的推論,它們的提出者顯然都是心慌慌的,儘管絕大多數數學家都認為黎曼猜想是立的,畢竟在計算機驗證的數字已經達到了十萬億個零點了。
而對於現在的林曉來說,他沒必要搞這種事,而且,到時候他可是要在數學家大會上做報告的,數學家大會會接一篇假設黎曼猜想立的報告嗎?
他可不這麼認為。
這樣一來,他還不如就把自己整理出來的東西帶上去講就行了,雖然沒有創新的點,但是考慮到他的年齡,相信到時候也不會有人說什麼。
「嗯……這樣可不行,我需要重新找到一個關係式,和梅森素數之間形聯繫,不然的話我就得放棄了。」
而這就意味著他得將自己的這個新方法再次進行擴展。
他不由回想了一下腦海中關於素數的一些知識。
忽然,他想到了狄利克雷定理。
【若r,N互質,則lim(x→∞)π(x;N,r)/π(x)=1/φ(N)】
「通過算級數的素數定理,似乎可以找到兩者之間的關係。」
林曉心中默默思考,強大的數,讓他想到了(4x+3)。
「似乎,梅森素數都是形如4x+3這樣的數?」
比如3,就等於4*0+3,而7,就等於4*1+3,再比如一個大一點的數字,比如歐拉心算出來的2^31-1,其等於2147483647,同樣可以轉換為(4x+3)的形式。
這是林曉直接看出來的。
他眼前一亮,開始了證明。
有了這個關係,他將梅森素數套在自己的那個變換構造函數上,也就沒問題了。
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